注：此证明过程由中国山东省烟台市的张勤业先生与2020年10月提出，所有权利归张勤业先生所有，所有想法均由张勤业先生个人提出。
考拉兹猜想
对于每一个正整数，如果它是奇数，则对它乘3再加1，如果它是偶数，则对它除以2，如此循环，最终都能得到1。
1+1猜想简易证明
—张勤业（山东省烟台市，2020/11/19）
一、将奇数分为3种：Q(3+6a), Q(5+6a), Q(7+6a), a=0,1,2,…。将大于等于12的偶数分为3种，P(3n-1), P(3n+1), n=5,7,9,…和P(3m), m=4,6,8,…。
二、Q(3+6a)=3,9,15,…，除3外都是合数，3既不是S(5+6a)素数，也不是S(7+6a)素数。
三、Q(5+6a)=5,11,17,…，可以表示为(3d+1)/2, d=3,7,11,…。当Q(5+6a)不等于5,7,11,…倍数时，为素数。
\( P(3n+1)=\frac{3n+1}{2} + \frac{3n+1}{2} \)
\( = \{ \frac{3n+1}{2}-\sum^{1\sim b}(2^b)\} + \{ \frac{3n+1}{2}+\sum^{1\sim b}(2^b) \} \)
b=1,2,3,…；若(3n+1)/2为素数，可表为两个相同S(5+6a)素数之和。所以，P(3n+1)最少有一种表为2个S(5+6a)的素数之和。
四、Q(7+6a)=7,13,19,…，可表为(3e-1)/2, e=5,9,13,…。当Q(7+6a)不等于5,7,11,13,…倍数时，为素数。
\( P(3n-1)=\frac{3n-1}{2} + \frac{3n-1}{2} \)
\( = \{ \frac{3n-1}{2}-\sum^{1\sim b}(2^b)\} + \{ \frac{3n-1}{2}+\sum^{1\sim b}(2^b) \} \)
b=1,2,3,…；若(3n-1)/2为素数，可表为两个相同S(7+6a)素数之和。所以，P(3n-1)最少有一种表为2个S(7+6a)的素数之和。
五、对于P(3m)
\( P(3m)=\frac{3(m-1)+1}{2} + \frac{3(m+1)-1}{2} \)
\( = \{ \frac{3(m-1)+1}{2}\pm\sum^{1\sim b}(2^b)\} +\)
\( \{ \frac{3(m+1)-1}{2}\mp\sum^{1\sim b}(2^b) \} \)
b=1,2,3,…；若(3(m-1)+1)/2与(3(m+1)-1)/2均为素数，可表为两个孪生素数之和。所以，P(3m)最少有一种表为1个S(5+6a)和1个S(7+6a)的素数之和。
注：\( \sum^{1\sim b}(2^b) \) 为 \(2^b=2^1,2^2,2^3,\dots \)中的一项或多项之和。
证明—张勤业（山东省烟台市，2020/10版本）
〇、在本文中，使用\( \propto \)代表一个无限大的有限数。
一、 如果n为偶数，即2, 4, 6, 8, 10, … 则有\( a=f(n) \to n\div 2 \), a为1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … 都在n的数列内，所以，当\( n=\propto \)时，成立。
二、若n为奇数，即3, 5, 7, 9, 11, …
①J由(4b+1)来表示，5, 9, 13, 17, 21, … (b=1, 2, 3, 4, 5, …)，则有
则J为4, 7, 10, 13, 16, 19, 23, … 都在n的数列内，所以当\( b=\propto \)时，成立。
②K由(4b-1)来表示3, 7, 11, 15, 19, 23, … (b=1, 2, 3, 4, 5, …)
1) 若b为奇数
这里b=1, 3, 5, 7, … 则p为4, 13, 22, 31, 40, 49, 58, … 都在n的数列内，所以，当\( b=\propto \)时，成立。
2)当b为偶数时
这里b为2, 4, 6, 8, 10, … 则q为26, 53, 80, 107, 134, 161, … 都在都在n的数列内，所以，当\( b=\propto \)时，成立。
综上，猜想成立。